Question

求解求解具体点

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Answer 1

题目最后应该是+ln2吧。
f(x)=∫(2x，0) f(t/2) dt+ln2
先化简积分∫(2x，0) f(t/2) dt
设t/2=u
积分上下限为(2x，0)
当t=2x时，u=x
当t=0时，u=0
所以积分上下限变为(x，0)
t=2u
dt=2du
所以
∫(2x，0) f(t/2) dt
=2∫(x，0) f(u) du
则f(x)=2∫(x，0) f(u) du+ln2
f'(x)=2f(x)
设y=f(x)，则y'=f'(x)
y'=2y
分离变量
y'/y=2
两边积分得
ln|y|=2x+C1
y=e^(2x+C1)
y=e^(2x)*e^C1
令e^C1=C
则y=Ce^(2x)
又因为f(x)=2∫(x，0) f(u) du+ln2
而∫(x，0) f(u) du
=∫(x，0) Ce^2x
=(C/2)e^2x+C2 |(x,0)
=(C/2)e^2x-C/2
所以
Ce^(2x)=2[(C/2)e^2x-C/2]+ln2
Ce^(2x)=Ce^2x-C+ln2
得到C=ln2
故y=f(x)=ln2*e^(2x)