Question

高数/集合论：集合X，Y分别有子集A,B，求证1. f(B的原像集)属于B（当f为满射时二者相等）

，2. A属于f(A)的原像集（当f为单射时二者相等）。就是图中的命题7和8，请给出过程

Answer 1

直接按定义证就行了，毫无技术含量
(7) 对f^{-1}(B)中的任何元素x，按定义有f(x)属于B，所以f(f^{-1}(B))包含于B。当f为满射时，对B中的任何元素b，总存在f^{-1}(B)中的元素a使得f(a)=b，从而B包含于f(f^{-1}(B))。
(8) 对于A中的任何元素x，x必定属于f^{-1}(f({x}))，从而属于f^{-1}(f(A))。当f为单射时，f^{-1}(f(x))=x，所以f^{-1}(f(A))=A。