Question

不等式设x>0,y>0,1/x^2+1/y^2=1,则x+y=有最大值最小值

x>0,y>0,1/x^2+1/y^2=1,则x+y( )

A有最大值2√2
B有最小值2√2
C有最大值4
D有最小值4

不要用柯西不等式的其他解法

Answer 1

解：答案是B
依题意可设x=1/cosθ,y=1/sinθ,这里0<θ《π/2
令S=x+y=1/cosθ+1/sinθ=(sinθ+cosθ)/sinθcosθ
考虑S的平方=(sinθ+cosθ)^2/(sinθcosθ)^2=4(1+sin2θ)/(sin2θ)^2=4/(sin2θ)^2+4/sin2θ
显然，当sin2θ最大即sin2θ=1时，4/(sin2θ)^2与4/sin2θ都取得最小值，因此S的平方也在此时取得最小值为8，所以S的最小值为2根号2，即x+y有最小值2√2

Answer 2

仅仅是选择题的话，可以这样考虑。1/x^2+1/y^2=1，则1/x=sinα,1/y=cosα,(0≤α≤90)。因此x≥1,y≥1.x+y不会有最大值。排队A、C。而当最小值是为2√2时，x=y=√2,符合1/x^2+1/y^2=1。而最小值为4时，无可能的x,y值符合。所以选 B

Answer 3

给个初中生能懂的方法
(x+y)^2=(x+y)^2(1/x^2+1/y^2)=(y/x)^2+(x/y)^2+2y/x+2x/y+2
=(y/x-x/y)^2+2[√(y/x)-√(x/y)]^2+8>=8
所以x+y>=2√2
当x/y=y/x 即x=y=√2时取等号
所以有最小值2√2