Question

已知两个圆C1：x^2+y^2=4,C2:x^2+y^2-2x-4y+4=0,直线l:x+2y=0,求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程

过程谢谢

Answer 1

C1和C2的交点为A (0,2) 和B(8/5,6/5)

设所求圆的圆心为P(x,y)

则P与A,B,l 的距离相等,且为圆的半径R

R^2=(x+2y)^2/5  (与l的距离)

R^2=X^2+(y-2)^2 (与A的距离)

R^2=(x-8/5)^2+(y-6/5)^2 (与B的距离)

解之得  x=1/2       y=1      R^2= 5/4

 所以,所求的圆为(x-1/2)^2+(y-1)^2=5/4.

Answer 2

联立C1；x^2+y^2=4和C2：x^2+y^2-2x-4y+4=0
4-2x-4y+4=0
x=4-2y
(4-2y)^2+y^2=4
5y^2-16y+12=0
(y-2)(5y-6)=0
y1=2,y2=1.3
x1=0,x2=1.6
解得：{x1=0,y1=2 {x2=1.6,y2=1.2
即圆C1与圆C2的交点分别为A(1,2),B(1.6,1.2)
直线AB斜率=(2-1.2)/(1-1.6)=-4/3
过A，B的圆，其圆心在线段AB的中垂线上
AB中点坐标是(1.3,1.6),线段AB的中垂线斜率是-1÷(-4/3)=3/4
那么线段AB的中垂线解析式为：y=3/4x+5/8
设所求圆的圆心P的坐标是(a,3/4a+5/8)
半径的平方为：
PA^2=(a-1)^2+(3/4a+5/8-2)^2=25/16a^2-65/16a+185/64
点P到直线L的距离的平方为：
d^2=[a+2(3/4a+5/8)]^2/(1^2+2^2)=(25/4a^2+25/4a+25/16)/5
=5/4a^2+5/4a+5/16
因为PA^2=d^2，所以：
25/16a^2-65/16a+185/64=5/4a^2+5/4a+5/16
5/16a^2-85/16a+165/64=0
4a^2-68a+33=0
(2a-1)(2a-33)=0
a1=1/2,a2=33/2
则所求圆发方程有2个：
当a=1/2时，P点坐标是(1/2,1),PA^2=5/4
P1：(x-1/2)^2+(y-1)^2=5/4
当a=33/2时，P点坐标是(33/2,13),PA^2=
P1：(x-33/2)^2+(y-13)^2=1445/4

注：1445/4=17^2×5/4

Answer 3

（用圆系方程）解：由题意可设所求的圆的方程为(x²+y²-2x-4y+4)+t(x²+y²-4)=0.(t≠-1)，化为标准方程为[x-1/(1+t)]²+[y-2/(t+1)]²=(4t²+1)/(1+t)².故所求的圆的圆心为(1/(1+t),2/(1+t)).半径为√(4t²+1)/|1+t|.再由题设可知，该圆与直线x+2y=0相切，故有|t|=1.(t≠-1)===>t=1.故所求的圆为[x-(1/2)]²+(y-1)²=5/4.