Question

这个广义积分怎么求

Answer 1

解：分享一种解法。
设t=e^(-λx)，则t∈(0,1]，e^(-λx)dx=-dt/λ，∴E(M)=(-5/λ)∫(0,1)(lnt)(1-t)^4dt=(1/λ)∫(0,1)(lnt)d[(1-t)^5]。
而，∫(lnt)d[(1-t)^5]=(lnt)(1-t)^5-∫[(1-t)^5]dt/t。利用(1-t)^5=1-5t+10t^2-10t^3+5t^4-t^5，
∴∫(lnt)d[(1-t)^5]=(lnt)[(1-t)^5-1]+5t-5t^2+(10/3)t^3-(5/4)t^4+(1/5)t^5+C。
∴E(M)=(-1/λ)lim(t→0)(lnt)[(1-t)^5-1]+(1/λ)(10/3-5/4+1/5)。又，(-1/λ)lim(t→0)(lnt)[(1-t)^5-1]=0，∴E(M)=137/(60λ)。
供参考。