Question

如何求函数f（x）的解析式

Answer 1

原命题：
已知：函数f(x)=ax^3+bx²+cx+2的单调递增区间是(-1，3)，且函数f(x)有极大值11/3，求函数f(x)的解析式。

【说明：^表幂运算符号，即^2表示2次方（或次幂）；^3表示3次方（或次幂），依次类推^()，表示()中的数值次方（或次幂），依此类推】

解：
∵ 函数f(x)=ax^3+bx²+cx+2
∴ 函数f(x)=ax^3+bx²+cx+2的导数函数f"(x)为：
f"(x)=3ax²+2bx+c，
设f"(x)=0时，根的判别式为△，即：△=4b²-12ac

∵ 函数f(x)=ax^3+bx²+cx+2的单调递增区间是(-1，3)，且函数f(x)有极大值11/3；
∴ 函数f(x)=ax^3+bx²+cx+2的单调递增区间是(-1，3)，其它区间函数f(x)不存在递减，
这样：根据函数，及其函数导数的极值点和极值情况，大致分析如下：
(-∞，-1) -1 (-1，3) 3 (3，+∞)
f"(x) 必须+ f"(-1) - f"(3) 必须+
f(x) 必须↑ 有极大值 ↓ 有极小值 必须↑

根据上述表述，可知道：
函数f(x)=ax^3+bx²+cx+2的单调递增区间是(-1，3)，且函数f(x)有极大值11/3，那么：
1）函数f(x)的导数f"(x)=3ax²+2bx+c在(-1，3)必须小于0；
2）函数f(x)在(-∞，-1)、(3，+∞)必须是递增函数，即：不存在递减情况；
3）函数f(x)的极大值点在f(-1)=11/3，那么导数f"(x)=0时，两个根为：-1、3；
　　　【函数极值的必要条件为】
若函数y=f(x)在x0处可导，且f(x0) 为极值（即：x0 为值点），则f"(x0)=0;

∴ 根据上述已知条件，可知道如下不等式组、等式关系组如下：
1) 不等式组
f"(-1)<0 或： f"(-1)<0
f"(3)<0 f"(3)<0
△=4b²-12ac>0 △=4b²-12ac， △∈R 【f"(x)=0时的△】
f(3)< f(-1) f(3)< f(-1)
a>0 a<0
2) 等式关系组（上下对应的，也就是与不等式组对应的）
f(-1)=11/3 f(-1)=11/3
f"(-1)=0 f"(-1)=0
f"(3)=0 f"(3)=0

【补充说明】：f"(-1)=0 ，f"(3)=0，也可以用韦达定理：
-1+3=-2b/3a -1+3=-2b/3a 【f"(x)=0，根据韦达定理】
-1×3=c/3a -1×3=c/3a 【f"(x)=0，根据韦达定理】

因此，可得到方程式组：
f(-1)=-a+b-c+2=11/3
-1+3=-2b/3a
-1×3=c/3a
解方程组得到：
a=1/3，b=-1，c=-3，代入不等式组验证结果为：验证合格

综上所述：
函数f(x)的解析式为： 函数f(x)=(1/3)x^3-x²-3x+2

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【补充说明】
如果原命题为：函数f(x)在(-1，3)区间上单调递增，那么情况就有变了，具体如下：

函数f(x)在(-1，3)区间上单调递增，这样：根据函数，及其函数导数的极值点和极值情况，大致分析如下：
(-∞，-1) -1 (-1，3) 3 (3，+∞)
f"(x) 必须+ ，也可能- f"(-1) - f"(3) 可能+，也可能-
f(x) 必须↑，也可能↓ 可能为极大值 ↓ 可能为极小值 可能↑，也可能↓

根据上述表述，可知道：
函数f(x)在(-1，3)区间上单调递增，且函数f(x)有极大值11/3，那么：
1）函数f(x)的导数f"(x)=3ax²+2bx+c在(-1，3)必须小于0；
2）函数f(x)的极大值点可能是：f(-1)=11/3，也可能不是
3）函数f(x)的极大值点在函数导数f"(x)=0时的两根对应的点，那么，导数f"(x)=0
时的两根：有可能是：-1和3，或者是其中的一个，或者都不是
4）区间(-1，3)的相邻的区间，函数f(x)也肯能存在递减；

　　　　　【函数极值的必要条件为】
若函数y=f(x)在x0处可导，且f(x0) 为极值（即：x0 为值点），则f"(x0)=0;

∴ 根据上述已知条件，可知道如下关系式组：
f"(-1)<0 或： f"(-1)<0
f"(3)<0 f"(3)<0
△=4b²-12ac>0 △=4b²-12ac ∈R
f(3)< f(-1) f(3)< f(-1)
a>0 a<0
f(-1)=11/3 f(-1)=11/3
f"(-1)=0 f"(-1)=0

综合分析上述关系式，无法求出a、b、c的值，这样，就无法求出f(x)的解析式。

Answer 2

1.已知函数的类型求解析式，一般用待定系数法.
2.已知函数f(x)的解析式，求复合函数f[g(x)]的解析式，用代入法. 即，只需用g(x)代替f(x)的解析式中的x，再化简即可.
3. 已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，这个问题是类型2的逆向问题.一般用换元法.
4. 已知复合函数f[g(x)]的表达式，求的解析式，采取f[g(x)]—（类型2）—f(x)—（类型3）—f(h(x))的思路。
5.已知函数在定义域的局部区间上的解析式，求它在整个定义域上的解析式，一般用区间转移法. 即把未知解析式的区间上的问题，转移到已知解析式的区间上去解决.

Answer 3

待定系数法