Question

高考数学函数f(x)=ax2-e2有两个零点,求a的取值范围

函数f(x)=ax2-e2有两个零点,求a的取值范围

Answer 1

（1）当x≤0时，f(x)=ax²-e^x<0恒成立，没有零点，所以a>0
假设x>0时f(x)只有一个零点，则 ax²≤e^x 恒成立，即 a≤e^x/x²，令 F(x)=a=e^x/x² 则 a'=F'(x)=(e^x·x²-e^x·2x)/x^4=e^x(x-2)/x³=0 得 F(x)min=2 即 a≤e²/4 时 f(x)在(0， +∞)上只有一个零点，则 f(x)在(0， +∞)上有两个零点时 a>e²/4
（2）不妨设 0<x1<x2。要证 x1+x2>4 等价于证 x2-2>2-x1>0
由 f(x)=ax²-e^x在(0， +∞)上有两个零点时 ax²-e^x>0 有 ax²>e^x 即 4/e²>x²/e^x>0
设 F(x)=x²/e^x 则 F'(x)=(2x·e^x-x²·e^x)/(e^x)²=x(2-x)/e^x 显然 0<x1<2 即 0<2-x1时 F'(x)>0；x2>2时，F'(x)<0。所以 F(x)=x²/e^x在 (0, 2) 单增，在 (2, +∞) 单减，所以 (2-x1)²/e^x<x2²/e^x

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