Question

计数原理有什么技巧吗？

Answer 1

分类计数原理与分步计数原理
学法导引
分类计数原理和分步计数原理是学习本章的基础，是排列组合、二项式定理和概率的预备知识．在使用这两个原理时，如何区分使用这两个中的哪一个是学习的关键．一般来说，在分解的过程中，此过程能独立地完成这件事，这就是一个分类过程，如果要几个过程同时进行才能完成这件事，这就是一个分步过程．
知识要点精讲
知识点1　分类计数原理：完成一件事，有n类办法，
注意：从两个基本原理可以看出，分步与分类是完成一件事情的两个不同的形式．如果一件事可以分类完成，每一类中的每一种方法都可以独立地完成这件事，而且相互间不依赖，这样完成这件事的方法数可以用分类计数原理，把这些数相加得到．如果一件事需要分步完成，每一步中的每一种方法只能阶段性地完成这种工作的一部分，而且只有依次完成每一步，这件事才能完成，那么完成这一件事的方法数适用于分步计数原理，把这些方法数相乘就得到结果．
解题方法、技巧培养
出题方向1　分类计数原理的应用
例1　三边长均为整数且最大边长为11的三角形有多少个？
[分析]　另两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11．要构成三角形，需x＋y≥12．
当y＝11时，x∈{1，2，…，11}，有11个三角形；
当y＝10时，x∈{2，3，…，10}，有9个三角形；
……
当y＝6时，x＝6，有1个三角形．
所以，满足条件的三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36(个)
例2　在两条异面直线a与b上分别有7个点、8个点，经过这15个点可确定多少个不同的平面．
[分析]　直线a上的7个点，每一个点都能与直线b确定一个平面，那么这7个点分别与直线b可以确定7个平面，由于a与b是两条异面直线，这7个平面是不同的平面．同时由于直线b上的8个点，每一个点都能与直线a确定一个平面，那么这8个点分别与直线a可以确定8个平面，由于a与b是两条异面直线，这8个平面是不同的平面．因为上述两个过程中，每一过程都能独立地得到一个符合条件的平面，这样，我们可以得到经过这15个点可确定8＋7＝15个平面．
出题方向2　分步计数原理的应用
例3　3名学生报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，有多少不同的报名方法?若有4项冠军在3个人中产生，每项冠军只能有一人获得，有多少不同的夺冠方法?
[分析]　可以将整个报名过程作这样的一个分解，分解成3名学生逐一报名的三个进程．其中每一个学生在其报名的进程中都可以在4个学科中任选一科，有4种不同的报名方法；而且这三个进程均不能独立地完成3名学生比赛报名这件事，只有当这三个进程全部完成后，这件事情才结束，由此我们知整个过程符合分步计数原理，
对于学科比赛的冠军，每个冠军只能有一个人得到，所以我们还是把问题求解的过程分解成4个进程，其中每个进程是从3名学生中选择一名本学科的冠军，有3种选法．当这4个进程全部结束后，整个过程才结束．
例4　有面值为五分、一角、二角、五角、一元、二元、五元、十元、五十元、一百元人民币各一张，共可组成多少种不同的币值？
[分析]　题目中10张人民币的面值各不相同，并且这10张中任意几张的面值之和也各不相同．因此，10张人民币可能组成的币值的种数就和人民币所有可能的取法的数目相等．
对每一张人民币而言，都有“取”与“不取”两种考虑．因此，我们可按如下方法思考：
[解]　五分币值有“取”与“不取”两种可能，一角币值亦可有“取”与“不取”两种可能…
想一想　有一角、二角、五角人民币各一张，一元人民币3张，五元人民币2张，一百元人民币2张，由这10张人民币中任取若干张可组成多少种不同的币值？
点拨　一角、二角、五角的人民币只有“取”与“不取”两种情况，一元人民币可分“不取”、“取1张”、“取2张”、“取3张”四种情况，五元、一百元人民币各有三种情况，故不同的币值数有N＝2×2×2×4×3×3－1＝287(种)
出题方向3　分解与合成的方式解决问题
例5　3名运动员在甲、乙两项体育比赛中分别争夺冠亚军，不同的比赛结果有多少种?
[分析]　先看甲运动项目的比赛结果，3名运动员争夺甲项目的冠亚军，冠军的结果有3种，亚军的结果有2种，由于冠军与亚军的结果都出现后，这个项目的比赛结果才结束，因此这是符合分步计数原理，共有3×2＝6种不同比赛结果．同样的乙运动项目的比赛结果也是这样，冠军的结果有3种，亚军的结果有2种；共有3×2＝6种不同比赛结果．由于整个比赛必须有待两个项目的冠亚军全部揭晓才结束，所以应该把两个项目的结果数相乘才符合问题的含义，所以不同的比赛结果共有6×6＝36种．
易错易混点警示
例6　将4封不同的信寄出去，有3个不同的信箱可以投放，有多少种不同的投放方法？
[错解二]　考虑信箱，每个信箱可以接受4封信中的每一封信，有4种接受方法，另外该信箱还有不接受任何一封信的这样一种方式，所以每一个信箱应该有5种不同的接受方法，
[错因分析]　错解一与错解二的错误都在于主体上的错位，因为一封信投进了一个信箱中，就不可能再投放入另一个信箱了，也就是说，如果某个信箱接受了一封信，别的信箱就不可能再接受它了．
[正解]　如果按信箱考虑，只有对信箱接受信的情况进行分类．可以分成恰有一个信箱有信，有两个信箱有信，有三个信箱有信共三种情况来考虑．
若恰有一个信箱有信，则4封信都被投放进一个信箱，有3种不同的投放方法．
若有两个信箱有信，则先选择某2个信箱时有3种方法．然后把信投放时，可以这样来考虑．
同时，也有把信刚好投放入2个信箱的情况，这有42种，应该减去；所以，这时共有81－42－3＝36种方法．前面选信箱时有1种方法，由分步计数原理，共有1×36＝36种不同方法．
综上，共有3＋42＋36＝81种不同放法．
综合应用创新
【综合能力升级】
两个原理是本章的基础，很多可重复的计数的综合问题以及可重叠的集合配对问题都可直接运用两个原理来求解．这样的题型综合性不是很强，但我们学习时却不能忽视．
例8　集合A、B的并集A∪B＝{a，b，c}，当A≠B时(A、B)与(B、A)视为不同的对，则这样的(A、B)对的个数有多少．
若A中有一个元素时，如A＝{a}时，则b∈B、c∈B，故B只有2种可能(aB或a?B)，从而可知，配对个数为3×2＝6．
综上所述，全部配对个数为8＋12＋6＋1＝27．
点拨　我们并没有在(A、B)中作排列，实际上这些排列全在这27个之中．
例9　在区间[400，800]上，(1)有多少个能被5整除且数字允许重复的整数；(2)有多少个能被5整除且数字不重复的整数．
[分析]　(1)我们可以把这个问题的解答过程分成三步进行．第一步，排个位数字，有2种排法；第二步，排百位数字有4种方法；第三步，排十位数字有10种排法．这就有2×4×10＝80种方法．另外三位数800也是符合条件的数，因此共有80＋1＝81个能被5整除且数字允许重复的整数．
(2)能被5整除的数的个位数字有两种情况，一种是0，另外一种是5，所以我们分两种情况来求解．当个位是0时，百位是4，5，6，7中的一个，十位是其余8个中的一个，所以个位是0时，共有4×8＝32个．当个位是5时，百位是4，6，7中的一个，十位是其余8个中的一个，此类共有3×8＝24个．所以能被5整除且数字不重复的整数共有32＋24＝56个． 如果对你有帮助，望采纳，本团竭诚为你服务，谢谢。