Question

求解数列题 急！

已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1/2，Sn=n^2an-n(n-1)
求Sn，an
要步骤

Answer 1

sn=n^2an-n^2+n-----A
sn+1=(n^2+2n+1)an+1-(n+1)^2+n+1-----B
B-A an+1=(n+1)^2an+1-n^2an-2n
0=(n^2+2n)an+1-2n-n^2an
除n
0=(n+2)an+1-2-nan
nan=(n+2)an+1-2
设k
nan+nk=(n+2)an+1+(n+2)k
解得k=-1
即nan-n=(n+2)an+1-(n+2)
移项
n/n+2=an+1-1/an-1
设bn=an-1
b2/b1=1/3 b3/b2=2/4 b4/b3=3/5......bn/bn-1=n-1/n+1
累商叠乘
bn/b1=2/n(n+1)
b1=-1/2
bn=-1/n(n+1)
an=n^2+n-1/n^2+n
带回
Sn=n^2/（n+1)

Answer 2

【根据楼主题目求解的次序是S[n]，a[n]，这样求其实更简单。】

解：∵数列{a[n]}的前n项和为S[n]，S[n]=n^2a[n]-n(n-1)
∴S[n]=n^2(S[n]-S[n-1])-n(n-1)
(n+1)S[n]/n-nS[n-1]/(n-1)=1

∵S[1]=a[1]=1/2
∴{(n+1)S[n]/n}是首项为(1+1)S[1]/1=1，公差也为1的等差数列
即：(n+1)S[n]/n=1+(n-1)=n
∴S[n]=n^2/(n+1)

∴n^2/(n+1)=n^2a[n]-n(n-1)
即：a[n]=(n^2+n-1)/[n(n+1)]

Answer 3

Sn=n^2an-n(n-1)
an=Sn-S(n-1)=n^2an-(n-1)^2a（n-1）-2(n-1) n>1
(n^2-1)an-(n-1)^2a（n-1）=2(n-1) n>1
除以n-1
(n+1)an-（n-1)an-1=2
两边乘以n *******
n(n+1)an-n(n-1)a（n-1）=2n
令bn=n(n+1)an
于是bn-b（n-1）=2n n>1
bn-1-bn-2=2(n-1)...
b2-b1=2x2
累加即可得 bn=n^2+n-1 an=(n^2+n-1)/(n^2+n)
带回Sn=n^2/（n+1)

此题******部分是关键 “拉近”an与an-1系数之间的关系以来构造bn