Question

在矩阵条件数不大的情况下线性代数方程组仍不能稳定求解是什么原因

Answer 1

一个矩阵的条件数是一个矩阵是否良态的表征，矩阵的条件数越大，矩阵越病态，在有限精度下，当矩阵的条件数与10^16同阶时，可认为该矩阵奇异。例如求解线性方程组时，系数矩阵条件数越大，解的稳定性越差；矩阵求逆时，条件数越大，精度越差。因此矩阵运算前算出条件数，可以对问题的好坏做出提前判断，方便求解方法的选择。

Answer 2

其实病态本质上是接近奇异性导致，条件数低但如果接近奇异仍病态，如标量的条件数总是1，但这个标量可以是接近奇异的(接近0)，所以对扰动很敏感。如(1/10⁹⁹)x=1。矩阵的例子就是对角矩阵元素都是同量级的极小的量，条件数也不大，但病态。