Question

如图，梯形ABCD中， AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，

(2016.翔燕中学）如图，梯形ABCD中， AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．

Answer 1

【第2问已经有答案了，只做第一问】

【解】

连接CF，

∵AD=DC，

∴∠DAC=∠DCA，

∵DC//AB，

∴∠BAC=∠DCA，

∴∠DAC=∠BAC，

在△AEF和△AEB中，

∠AFE=∠ABE=90°，∠FAE=∠BAE，AE=AE，

∴△AEF≌△AEB（AAS），

∴EF=BE，∠AEF=∠AEB，

在△CEF和△CEB中，

EF=EB，∠FEC=∠BEC，CE=CE，

∴△CEF≌△CEB（SAS），

∴CF=CB，

∵DC=CB，

∴DC=CF，

∵DC//AB，

∴∠FDC=∠DAB=60°，

∴△FDC是等边三角形，

∴∠DCF=60°，

∵∠DCA=∠DAC=30°，

∴∠ACF=90°，

∴∠BCE=90°，

∵CE=1，∠CEB=60°，

∴BC=√3，

S△BCE=1/2BC×CE=√3/2.