Question

不定积分4和5，谢谢

Answer 1

4、令t=√(2a-x)，x=2a-t^2，dx=-2tdt
原式=(-2)*∫(2a-t^2)^(3/2)dt
再令t=√(2a)sinu，dt=√(2a)cosudu
原式=(-2)*∫4a^2*cos^4udu
=(-8a^2)*∫cos^2u(1-sin^2u)du
=8a^2*[∫cos^2usin^2udu-∫cos^2udu]
=2a^2*∫sin^2(2u)du-4a^2*∫(1+cos2u)du
=a^2*[∫(1-cos4u)du-∫(4+4cos2u)du]
=-a^2*∫(3+4cos2u+cos4u)du
=-a^2*[3u+2sin2u+(1/4)*sin4u]+C
=-a^2*{3arcsin[t/√(2a)]+[2t√(2a-t^2)]/a+(1/2)*t√(2a-t^2)*(a-t^2)/a^2]+C
=-3a^2*arcsin[t/√(2a)]-2at√(2a-t^2)-(t/2)*(a-t^2)√(2a-t^2)+C
=-3a^2*arcsin[√(1-x/2a)]-2a√(2ax-x^2)-[(x-a)/2]*√(2ax-x^2)+C
=-3a^2*arcsin[√(1-x/2a)]-[(x+3a)/2]*√(2ax-x^2)+C，其中C是任意常数
5、An=∫(tanx)^ndx

=∫(tanx)^(n-2)*(sec^2x-1)dx
=∫(tanx)^(n-2)*sec^2xdx-∫(tanx)^(n-2)dx
=∫(tanx)^(n-2)d(tanx)-A(n-2)
=[1/(n-1)]*(tanx)^(n-1)-A(n-2)
∫(tanx)^5dx=A5
=(1/4)*(tanx)^4-A3
=(1/4)*(tanx)^4-(1/2)*(tanx)^2+A1
=(1/4)*(tanx)^4-(1/2)*(tanx)^2+∫tanxdx
=(1/4)*(tanx)^4-(1/2)*(tanx)^2-ln|cosx|+C，其中C是任意常数