Question

两道高数题

两道高数题求极限，如果极限不存在请说明理由

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Answer 1

3、lim [√(xy+1)-1]/(x+y)
=lim [1+xy/2-1]/(x+y)
=lim (xy/2)/(x+y)
=(1/2)lim (xy)/(x+y)
=0
4、lim (x²y²)/[x²y²+(x-y)²]
=lim 1/[1+(1/y-1/x)²]
无极限。

追问

请问(1/2)lim (xy)/(x+y)=0是怎么来的？

追答

x,y是相互独立的无穷小量，无论是同阶或哪一个更高阶，xy/(x+y)都是相对低阶的无穷小量，所以极限值为0。

Answer 2

二元函数极限如果存在的话，你可以先极限一个，再极限另一个。
还有一种更简单的方法就是，因为极限存在的话，我们可以选择我们合适的路径
比如 选择 x = y.
limit (Sqrt(xy-1) - 1) / (x + y) = limit (Sqrt(x^2-1)-1)/(2x) ====> 用洛必达法则，一下就可以得到结果了。
下一问你自己也可以类似尝试下。