已知 x+y=1/x+4/y+8 (x,y>0) ,则x+y的最小值为?
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x>0,y>0,则x+y>0
x+y=1/x+4/y+8
(x+y)²=(x+y)(1/x+4/y)+8((x+y)
≥((√x)(1/√x)+(√y)(1/√y))²+8(x+y) (柯西不等式)
=9+8(x+y) (y=2x时取"=")
得 (x+y)²-8(x+y) -9≥0且x+y>0
解得 x+y≥9
又由y=2x,x+y=9得x=3,y=6
即 x+y≥9 且x=3,y=6时取"="
所以 x+y的最小值是9
x+y=1/x+4/y+8
(x+y)²=(x+y)(1/x+4/y)+8((x+y)
≥((√x)(1/√x)+(√y)(1/√y))²+8(x+y) (柯西不等式)
=9+8(x+y) (y=2x时取"=")
得 (x+y)²-8(x+y) -9≥0且x+y>0
解得 x+y≥9
又由y=2x,x+y=9得x=3,y=6
即 x+y≥9 且x=3,y=6时取"="
所以 x+y的最小值是9
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