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关于x和关于y的偏导数在(x0,y0)处连续为什么是充分条件? 100
如图所示,关于x的偏导数和关于y的偏导数不是连续的吗?还是说图里面是偏导数f'x(x,y0)和偏导数f'y(x0,y)是连续的[如果是这种情况的话,什么样子才算f'x(x...
如图所示,关于x的偏导数和关于y的偏导数不是连续的吗?还是说图里面是偏导数f'x(x,y0)和偏导数f'y(x0,y)是连续的[如果是这种情况的话,什么样子才算f'x(x,y)和f'y(x,y)在(x0,y0)处连续呢?]?
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由于二元函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全增量 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)=[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x,y)]…① ①式第一个函数可以看成是x的一元函数f(x,y+△y)的增量,应用拉格朗日中值定理,得 f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)=fx(x+θ1△x,y+△y)△x,其中0<θ1<1 又由于fx(x,y)在点(x,y)处连续,因此上式可写为 f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)=fx(x,y)△x+α△x…② 其中α为△x和△y的函数,且△x和△y趋于0时,α趋于0 同理,①式的第二函数也可以写成 f(x,y+△y)-f(x,y)=fy(x,y)△y+β△y…③ 其中β为△x和△y的函数,且△x和△y趋于0时,β趋于0 由②和③式,可知 △z=fx(x,y)△x+fy(x,y)△y+α△x+β△y 即 lim ρ→0 △z?[fx(x,y)△x+fy(x,y)△y] ρ =lim ρ→0 α△x+β△y ρ =0 即z=f(x,y)在该点可微但函数z=z(x,y)在点(x0,y0)处可微其一阶偏导数不一定连续如f(x,y)=(x2+y2)sin1 x2+y2 ,(x,y)≠(0,0) 0,(x,y)=(0,0) 容易求得,fx(0,0)=fy(0,0)=0 且(x,y)≠(0,0)时, fx(x,y)=2xsin1 x2+y2 ?2x x2+y2 cos1 x2+y2 fy(x,y)=2ysin1 x2+y2 ?2y x2+y2 cos1 x2+y2 由于lim ρ→0 △f?fx(0,0)△x?fy(0,0)△y ρ =lim ρ→0 ρsin1 ρ2 =0 故f(x,y)在(0,0)可微而lim (x,y)→(0,0) 2x x2+y2 cos1 x2+y2 和lim (x,y)→(0,0) 2y x2+y2 cos1 x2+y2 都不存在,因此,lim (x,y)→(0,0) fx(x,y)和lim (x,y)→(0,0) fy(x,y)不存在即一阶偏导数在(0,0)不连续故二元函数z=f(x,y)的两个偏导数?z ?x ,?z ?y 在点(x,y)处连续是z=f(x,y)在该点可微的充分条件.
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