Question

关于x和关于y的偏导数在(x0，y0)处连续为什么是充分条件？

如图所示，关于x的偏导数和关于y的偏导数不是连续的吗？还是说图里面是偏导数f'x(x，y0)和偏导数f'y(x0，y)是连续的[如果是这种情况的话，什么样子才算f'x(x，y)和f'y(x，y)在(x0，y0)处连续呢？]？

Answer 1

由于二元函数z=f（x，y）在点（x，y）处的全增量 △z=f（x+△x，y+△y）-f（x，y）=[f（x+△x，y+△y）-f（x，y+△y）]+[f（x，y+△y）-f（x，y）]…① ①式第一个函数可以看成是x的一元函数f（x，y+△y）的增量，应用拉格朗日中值定理，得 f（x+△x，y+△y）-f（x，y+△y）=fx（x+θ1△x，y+△y）△x，其中0＜θ1＜1 又由于fx（x，y）在点（x，y）处连续，因此上式可写为 f（x+△x，y+△y）-f（x，y+△y）=fx（x，y）△x+α△x…② 其中α为△x和△y的函数，且△x和△y趋于0时，α趋于0 同理，①式的第二函数也可以写成 f（x，y+△y）-f（x，y）=fy（x，y）△y+β△y…③ 其中β为△x和△y的函数，且△x和△y趋于0时，β趋于0 由②和③式，可知 △z=fx（x，y）△x+fy（x，y）△y+α△x+β△y 即 lim ρ→0 △z?[fx(x，y)△x+fy(x，y)△y] ρ ＝lim ρ→0 α△x+β△y ρ ＝0 即z=f（x，y）在该点可微但函数z=z（x，y）在点（x0，y0）处可微其一阶偏导数不一定连续如f(x，y)＝(x2+y2)sin1 x2+y2 ，(x，y)≠(0，0) 0，(x，y)＝(0，0) 容易求得，fx（0，0）=fy（0，0）=0 且（x，y）≠（0，0）时， fx(x，y)＝2xsin1 x2+y2 ?2x x2+y2 cos1 x2+y2 fy(x，y)＝2ysin1 x2+y2 ?2y x2+y2 cos1 x2+y2 由于lim ρ→0 △f?fx(0，0)△x?fy(0，0)△y ρ =lim ρ→0 ρsin1 ρ2 ＝0 故f（x，y）在（0，0）可微而lim (x，y)→(0，0) 2x x2+y2 cos1 x2+y2 和lim (x，y)→(0，0) 2y x2+y2 cos1 x2+y2 都不存在，因此，lim (x，y)→(0，0) fx(x，y)和lim (x，y)→(0，0) fy(x，y)不存在即一阶偏导数在（0，0）不连续故二元函数z=f（x，y）的两个偏导数?z ?x ，?z ?y 在点（x，y）处连续是z=f（x，y）在该点可微的充分条件．