Question

二阶常系数非齐次线性微分方程题

二阶常系数非齐次线性微分方程题题目:微分方程y''-2y'+2y=e^x 的通解为?
我知道特征方程为r^2-2r+2=0，但这个解出来是虚数，我怎么判断a=1是不是特征单根？怎么设y*？

Answer 1

虚根一样的，不影响，r=1±i
通解为 y= c1*e^(1+i)x+c2*e^(1-i)x=e^x(Acosx+Bsinx)
再求非齐次方程的特解，设特解为 y=Ce^x
代入 Ce^x-2Ce^x+2Ce^x=e^x, C=1
因此原方程通解为：y=e^x(Acosx+Bsinx+1)

追问

我不懂为什么特解设为y*=Ce^x 而不是y*=Cxe^x

追答

观察右边非齐次项的特征，如果右边是xe^x，那你就设xe^x

因为xe^x再怎么求导，也都还会有xe^x这一项，但是显然，非齐次项里并不包含这一项。

追问

这个是我抄老师的笔记

右边也是e^x，但设的y*=Axe^x

追答

具体的题目具体分析，你老师给的这道题，如果你直接设y=Ae^x,你会发现根本就求不出A，因为等号左边就已经是0了。因为y=Ae^x正好是齐次方程的通解。。。

这道题，如果你要设Cxe^x，代入后
Ce^x(x+2)-2Ce^x(x+1)+2Cxe^x=e^x
整理得 Cx=1，你会发现C根本就求不出来。。。

Answer 2