Question

一道高数问题,设f(x)连续，f(0)=0,f'(0)=1

设f(x)连续，f(0)=0,f'(0)=1,求lim(a趋于0）1/[a-ln(1+a)]*[∫(-a,a)f(x+a)dx-∫(-a,a)f(x-a)dx]

Answer 1

证明：你的题写错了，应该是：f(1)=1 本题考查介质定理和拉格朗日中值定理！ ∵1/3,2/3∈(0,1) f(x)在[0,1]上连续， ∴根据介值定理，?x1，x2∈(0,1)，使得： f(x1)=1/3 f(x2)=2/3 又∵ f(x)在区间(0,x1),(x1,x2),(x2,1)可导，在[0,x1],[x1,x2],[x2,1]连续，根据拉格朗日中值定理： ?ξ1∈(0,x1) ?ξ2∈(x1,x2) ?ξ3∈(x2,1) 使得： f(x1)-f(0) =f'(ξ1)·(x1-0) f(x2)-f(x1)=f'(ξ2)·(x2-x1) f(1)-f(x2)=f'(ξ3)·(1-x2) 因此： 1/f'(ξ1) = (x1-0)/f(x1)-f(0) =x1/(1/3)=3x1 1/f'(ξ2) = (x2-x1)/f(x2)-f(x1) =(x2-x1)/(1/3)=3x2-3x1 1/f'(ξ3) = (1-x2)/f(1)-f(x2) =(1-x2)/(1/3)=3-3x2 上述各式相加： 1/f'(ξ1) + 1/f'(ξ2) + 1/f'(ξ3) = 3x1+3x2-3x1+3-3x2=3 证毕！ 想了一个下午，加点分吧！