Question

∫dx/x√(x²－1）

∫dx/x√(x²－1）积分

Answer 1

∫1/[x√(x^2-1)]dx=∫(1/x^2)/[√(x^2-1)/x]dx=∫(1/x^2)dx/√[1-(1/x)^2]=-∫d(1/x)/√[1-(1/x)^2]=-arcsin(1/x)+C其中C为任意常数∫1/[x√(1-x2)]dx分子分母同乘以x=∫x/[x2√(1-x2)]dx=(1/2)∫1/[x2√(1-x2)]d(x2)令√(1-x2)=u，则x2=1-u2，d(x2)=-2udu=(1/2)∫1/[(1-u2)u](-2u)du=∫1/(u2-1)du=(1/2)ln|(1-u)/(1+u)|+C=(1/2)ln|(1-√(1-x2))/(1+√(1-x2))|+C=(1/2)ln|(1-√(1-x2))2/x2|+C=ln|(1-√(1-x2))/x|+C

追问

你好

这儿这个题，令x＝sect可以解决吗

帮忙再回答一下谢谢

Answer 2

定义域 x > 1 或 x < -1.
x > 1 时，令 x = 1/u，则 u > 0,
I = ∫dx/[x√(x²-1)] = ∫-(du/u^2)/[(1/u)(1/u)√(1-u²)] = ∫-du/√(1-u²)
= C - arcsinu = C - arcsin(1/x)；
x < -1 时，令 x = 1/v，则 v < 0,
I = ∫dx/[x√(x²-1)] = ∫-(dv/v^2)/[(1/v)(-1/v)√(1-v²)] = ∫dv/√(1-v²)
= C + arcsinv = C - arcsin(-v) = C - arcsin(-1/x)；
综合 I = C - arcsin(1/|x|)

Answer 3

如图