Question

为什么行列式非零元素的个数小于n个n阶行列式的值必为零

Answer 1

秩小于n的n阶矩阵的行列式一定为零。

当m不等于n时，mxn矩阵没有行列式。

任何方阵都可以通过初等行变换转化为上三角阵。

上三角阵的行列式为0当且仅当主对角线上的元素中有0。

n阶上三角阵的秩 = n - 主对角线上0的个数。

初等行变换 = 左乘(可逆)初等矩阵。于是初等行变换保秩，并且使得变换前后的矩阵的行列式同为0或同不为0。这样，A的行列式为0当且仅当对应的上三角阵秩小于n，也即A的秩小于n。

性质

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

Answer 2

因为n阶行列式有n行
非零元素的个数小于n个
必定出现一行是0
所以行列式是0