Question

求解一道行列式题

求解一道行列式题画线处按第一列展开 不应该是A11-A21+A31......吗 Aij=(-1)^ij Mij 为何这里不加正负号

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Answer 1

你记错公式了，应当是|A|=a11A11+a21A21+...+an1An1，正负号已经包含有代数余子式的定义中了。

追问

比如去掉画线行列的 的第一行第一列就直接是代数余子式

而不是余子式了？

追答

去掉一行一列所得的行列式称为余子式，记为Mij
{(-1)^(i+j)}Mij才是代数余子式，记为Aij

追问

我是这么记的 可这个按第一列展开 1✖️(-1)^i+j Mij

这个b✖️的所有代数余子式Aij全都是正的

是我哪里理解错了吗

有点懵了 第一列的元素乘以它们对应去掉的那一行一列 就直接变成代数余子式了 没有(-1)^i+j

追答

对啊，1×{(-1)^(i+j)}Mij=1×Aij，所以用代数余子式时就都是正的了。

追问

心态崩了...比如第二行第一个元素展开不是1✖️(-1)^2+1 Mij = -Aij

1✖️(-1)^2+1 M21 = -A21

追答

应当是1×(-1)^(2+1) M21 = -M21=A21

追问

我想问的就是这个 负号 为啥没了😭

哦 我知道了 就是这个-Mij等同于用它的代数余子式表达出来了 不用写正负了 都包含在那个Aij的里面了

是吧

是我写的有问题了！

追答

刚才说了那么多，就是告诉你|A|=1×M11-1×M21+...+1×{(-1)^(n+1)}Mn1=M11-M21+...+{(-1)^(n+1)}Mn1=A11+A21+...+An1
用余子式有负号，用代数余子式就没有负号。

追问

明白！

感谢！