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求助一道算幂级数收敛域的题

求助一道算幂级数收敛域的题12题谢谢

Answer 1

解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=(1/2)lim(n→∞)(2n+1)/(2n-1)=1/2，
∴收敛半径R=1/ρ=2。
又，lim(n→∞)丨un+1/un丨=x²/R<1，∴收敛区间为丨x丨<R=√2。x=±√2时，级数∑(2n-1)和∑[(-1)^n](2n-1)均发散。∴收敛域为x∈(-√2,√2)。
令y=x/√2，∴∑[(2n-1)/2^n]x^(2n)=∑(2n-1)y^(2n)。
而，当x∈(-√2,√2)时，y∈(-1,1)，∴∑(2n-1)y^(2n)=y²∑(2n-1)y^(2n-2)=y²[∑y^(2n-1)]'=y²[y/(1-y²)]'=y²(1+y²)/(1-y²)²。
∴∑[(2n-1)/2^n]x^(2n)=x²(2+x²)/(2-x²)²]。令x=1，∴∑(2n-1)/2^n=3。
供参考。