Question

导数问题求解

导数问题求解如图

Answer 1

• f(x)=e^x/x-a(x-lnx) 定义域x>0

1. f'(x)=(x·e^x-e^x)/x²-1+1/x

   f'(1)=0

   ∴切线y=e-1

2. f'(x)=(x·e^x-e^x)/x²-a+a/x 

   =(x-1)e^x/x²-a(x²-x)/x²

   =(x-1)[e^x-ax]/x²

   a≤0→e^x-ax>0→驻点x=1 左-右+ 为极小值点

   ∴单调递减区间x∈(0,1),单调递增区间x∈(1,+∞)

3. 由2知a>0→ e^x-ax=0

   令g(x)=e^x-ax

   g'(x)=e^x-a→驻点x=lna 左-右+为极小值

   x∈(0,lna) g(x)单调递减

   当lna≥1→a≥e时 g(1)=e-a≤0 

   ∵g(0)=e>0→g(0)·g(1)≤0→x∈(0,1) g(x)有唯一的零点→f(x)有极值点。