∴向量OE=(-3/10,-3/10,1),OF=(1/2,-1/2,λ),OB1=(1/2,1/2,1),EB1=(4/5,4/5,0),
平面EOB1的法向量是m=OE×OB1
i j k
-3/10 -3/10 1
1/2 1/2 1
=(-4/5,4/5,0),
平面FOB1的法向量n=OB1×OF
i j k
1/2 1/2 1
1/2, -1/2 λ
=(λ/2+1/2，-λ/2+1/2，-1/2），
cosα=cos<m,n>=(-4λ/5)/{4√2/5*√(2λ^2+3)/2}=-√2λ/√{2λ^2+3),
平面EOF的法向量p=OE×OF=
I j k
-3/10 -3/10 1
1/2 -1/2 λ
=（1/2-3λ/10,3λ/10+1/2,3/10）
cosβ=cos<m,p>=(12λ/25)/[4√2/5*√(18λ^2+59)/10]=3√2λ/√(18λ^2+59),
平面EFB1的法向量q=EB1×EF=
I j k
4/5 4/5 0
4/5 -1/5 λ
=(4λ/5，-4λ/5，-4),
∴cosγ=cos<m,q>=(-32λ/5)/[4√2/5*4√(2λ^2+25)]=-√2λ/√(2λ^2+25),
cosα<cosγ<cosβ，
∴α>γ>β，选A.
注：如未学过向量外积，可用待定系数法求法向量。
火丰科技
2024-11-28 广告
实际上是比较四面体F-OEB1三个侧面和底面夹角的大小，由于AF//面OEB1，因此高是固定值，F在底面的投影是底面的垂心，只须比较垂心到底面三条边的距离大小即可，距离越大，tan值越小，角度越小。
看了数遍，答案就是D
那答案是什么
答：本题有一个笔误，应该是AF=λA1A（0<λ<1/2), 因为AE>A1A; 否则，出题就出现矛盾了。F-OB1-E=a; F-OE-B1=β; F-EB1-O=γ; 这里γ是极容易求的，所以先求γ。见下图。
1）作FI⊥B1D1于I，连结IO，∠FIO=γ；cosγmax=(1/2)/√[(1/2)^+(√2/2)^2]=1/√3; 45D<γ<60D
2）求a,作EG⊥B1O于G，作HG⊥B1O，交AB1于H(F到A点时，a最大）；在△EOB1中，设B1G=x，OB1=√[1+(√2/2)^2]=√6/2; OE=√(EI^2+IO^2)=√[(4√2/5-√2/2)^2+1]=√(59/50); EB1=4√2/5; (4√2/5)^2-x^2=59/50-(√6/2-x)^2=59/50-3/2+√6x-x^2,解得：B1G=x=(32/25+3/2-59/50)/√6=8/(5√6); EG^2=EB1^2-x^2=32/25-(8/5√6)^2=64/75; EH^2=AE^2-AH^2=1+(4/5)^2+(1/5)^2-*[√2-7/(5√6)]^2 =1+17/25-2-49/(25*6)+2√2*7/(5√6)=(140√3-97)/150; HG/AO=B1G/B1O; HG=B1G*AO/B1O=(8/5√6)*(√2/2)/√(59/50)=4√2/√177;
根据余弦定理：cosa=(EG^2+HG^2-EH^2)/(2EG*HG)=[64/75+(4√2/√177)^2-(140√3-97)/150]/[2*(64/75)*(4√2/√177)] ≈-0.16065<0;a=∠EGH>90D
3)可以不求β，可以假设E在B1D1的中点，这时β的张角更大，也就是90D；假设E在D1， cosβ=(7/12+4/3-5/4)/[2√(7/12)*√(4/3)]=1/2√7=√7/14<cosγ。所以，γ<β<a。
所以可以下结论; 这样的题可能用向量来做可能会更简单。
