Question

数学几何证明题 （八年级）

已知：在△ABC中，AB=AC,∠A=120°，点M为BC边上的中点，点P为BC边上任意一点，过点P作PE⊥AB，过点P作PF⊥AC，连接ME，MF，EF，则△MEF是什么三角形？并说明理由。
提示（取中点，利用Rt△斜边中线等于斜边一半）

Answer 1

一楼是错的
（∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠EMF=360°-∠AEP-∠AFP-∠A=60°
你将四边形AEPF和四边形AEMF混起来了）
后面全是抄袭的一楼的。实在让人看不下去了，只好将正确的打出来了

等边三角形结论正确
证明：
连接AM，题意知AM⊥BC
PE⊥AB，
所以AEPM四点共圆
因为PF⊥AC
所以APMF四点共圆
所以AEPMF五点共圆
所以∠EFM＝BAM＝60，∠FEM＝CAM＝60
所以∠EFM＝∠FEM＝60
所以三角形MEF是等边三角形

Answer 2

说明：你图中的A,b两点表示反了，我的解题过程是照着原题的文字叙述做！
解：△MEF是等边三角形！证明如下：
∵AB=AC,∠A=120°
∴∠B=∠C=(180°-∠A)/2=30°
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠EMF=360°-∠AEP-∠AFP-∠A=60°
∠BPE=60°
∠FPM=60°
∵∠EPF+∠BPE+∠CPF=180°
∴∠EPF=180°-∠BPE-∠CPF=60°
==>∠EPF=∠EMF
==>E,F,M,P四点共园
==>∠FEM=∠FPM=60° (同弧所对的圆周角相等)
==>∠EFM=180°-∠FEM-∠EMF=60°
==>∠EFM=∠FEM=∠EMF
故△MEF是等边三角形，证毕。

Answer 3

说明：你图中的A,b两点表示反了，我的解题过程是照着原题的文字叙述做！
解：△MEF是等边三角形！证明如下：
∵AB=AC,∠A=120°
∴∠B=∠C=(180°-∠A)/2=30°
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠EMF=360°-∠AEP-∠AFP-∠A=60°
∠BPE=60°
∠FPM=60°
∵∠EPF+∠BPE+∠CPF=180°
∴∠EPF=180°-∠BPE-∠CPF=60°
==>∠EPF=∠EMF
==>E,F,M,P四点共园
==>∠FEM=∠FPM=60° (同弧所对的圆周角相等)
==>∠EFM=180°-∠FEM-∠EMF=60°
==>∠EFM=∠FEM=∠EMF
故△MEF是等边三角形，证毕。

Answer 4

我的解题过程是照着原题的文字叙述做！
解：△MEF是等边三角形！证明如下：
∵AB=AC,∠A=120°
∴∠B=∠C=(180°-∠A)/2=30°
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠EMF=360°-∠AEP-∠AFP-∠A=60°
∠BPE=60°
∠FPM=60°
∵∠EPF+∠BPE+∠CPF=180°
∴∠EPF=180°-∠BPE-∠CPF=60°
==>∠EPF=∠EMF
==>E,F,M,P四点共园
==>∠FEM=∠FPM=60° (同弧所对的圆周角相等)
==>∠EFM=180°-∠FEM-∠EMF=60°
==>∠EFM=∠FEM=∠EMF
故△MEF是等边三角形，证毕

Answer 5

解：△MEF是等边三角形！证明如下：
∵AB=AC,∠A=120°
∴∠B=∠C=(180°-∠A)/2=30°
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠EMF=360°-∠AEP-∠AFP-∠A=60°
∠BPE=60°
∠FPM=60°
∵∠EPF+∠BPE+∠CPF=180°
∴∠EPF=180°-∠BPE-∠CPF=60°
==>∠EPF=∠EMF
==>E,F,M,P四点共园
==>∠FEM=∠FPM=60° (同弧所对的圆周角相等)
==>∠EFM=180°-∠FEM-∠EMF=60°
==>∠EFM=∠FEM=∠EMF
故△MEF是等边三角形，