Question

问一个高数题(微分方程)3

Answer 1

设曲线弧OA的方程为y=f(x)
∫(0,x) [f(t)-f(x)t/x]dt=x^2，其中0<x<=1
∫(0,x) f(t)dt-[f(x)/x]*∫(0,x) tdt=x^2
∫(0,x) f(t)dt-xf(x)/2=x^2
两边对x求导
f(x)-f(x)/2-xf'(x)/2=2x
f(x)-xf'(x)=4x
f'(x)-f(x)/x+4=0
令u(x)=f(x)/x，则f(x)=xu(x)，f'(x)=u(x)+xu'(x)
u(x)+xu'(x)-u(x)+4=0
u'(x)=-4/x
u(x)=-4lnx+C
f(x)=xu(x)=-4xlnx+Cx，其中C是任意常数
因为f(1)=1，1=C，所以f(x)=-4xlnx+x
所以曲线弧OA的方程为：当x>0时，y=-4xlnx+x；当x=0时，y=0