Question

高数题求详细解答

Answer 1

建议上标用^, 下标用_.
然后为了简便, 这里就用A'表示A的转置.

1. 这是一个结论: 若B是m×n实矩阵, 则R(B) = R(B'B).
进而也有R(B) = R(B') = R(BB').

证明: 考虑线性方程组BX = 0 ①与B'BX = 0 ②, 证明二者同解.
不妨在实数域上讨论(秩是与数域无关的. 如果在复数域上讨论只需稍加修改).
若X满足①, 自然有B'BX = B'(BX) = 0, 即①的解也是②的解.
若X满足②, 则(BX)'BX = X'B'BX = 0.
设BX = (y_1,y_2,...,y_m)', 则有y²_1+y²_2+...+y²_m = 0, 故y_1 = y_2 = ... = y_m = 0.
即得BX = 0, ②的解也是①的解.
①的解空间维数n-r(B) = ②的解空间维数n-R(B'B).
故r(B) = r(B'B), 证毕.

Answer 2

如图

Answer 3

Answer 4

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