Question

使用洛必达公式

Answer 1

lim(x→0)[1+f(x)/x]^(1/x)=e^{lim(x→0)(1/x)ln[1+f(x)/x]}。

而由题设条件，lim(x→0)(1/x)ln[1+f(x)/x]属“0/0”型，用洛必达法则，∴lim(x→0)(1/x)ln[ 1+f(x)/x]=lim(x→0)[f(x)/x]'/[1+f(x)/x]=lim(x→0)[xf'(x)-f(x)]/[x²+xf(x)]。

仍属“0/0”型，再用洛必达法则、经整理，有lim(x→0)(1/x)ln[1+f(x)/x]=lim(x→0)f''(x) /[2+f'(x)+f(x)/x]=2。

∴lim(x→0)[1+f(x)/x]^(1/x)=e²。

扩展资料：

注意事项：

求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式极限。

⑴ 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型构型，否则滥用洛必达法则会出错（其实形式分子并不需要为无穷大，只需分母为无穷大即可）。当不存在时（不包括情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。

⑵ 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

参考资料来源：百度百科-洛必达法则

Answer 2

lim (6x-6sinx)/x3 as x->0 =6*lim (x-sinx)/x3 =6*lim (1-cosx)/(3x2),洛必达法则 =2*lim sinx/(2x),洛必达法则 =lim (sinx/x) =1

追问

您好我想问的是（4），答案是e²

求过程

Answer 3

lim(x→0)[1+f(x)/x]^(1/x)=e^{lim(x→0)(1/x)ln[1+f(x)/x]}。
而由题设条件，lim(x→0)(1/x)ln[1+f(x)/x]属“0/0”型，用洛必达法则，∴lim(x→0)(1/x)ln[ 1+f(x)/x]=lim(x→0)[f(x)/x]'/[1+f(x)/x]=lim(x→0)[xf'(x)-f(x)]/[x²+xf(x)]。
仍属“0/0”型，再用洛必达法则、经整理，有lim(x→0)(1/x)ln[1+f(x)/x]=lim(x→0)f''(x) /[2+f'(x)+f(x)/x]=2。
∴lim(x→0)[1+f(x)/x]^(1/x)=e²。供参考。