Question

1+x方分之ln(1+x)的定积分怎么求

Answer 1

遇到相乘形式的积分，首先看能不能分部积分法，但是观察到1+x²移到d后边变成arctanx,再用分部积分法的话也不好算。因此换一种思路用变量代换法。
看到x^2+1这种形式，就要敏锐地想到tan²x+1=sec²x,因此令x=tant,则积分化为:
∫(0，π/4)ln(1+tant)dt
这里又遇到了困难，ln(l+tant)的原函数不好找。但是这是定积分，观察到积分区间恰好是在(0，π/4)，因此可以想到是不是可以补一个对称的积分区间，根据对称性解题呢?因此再令u=π/4-t,则积分化为
∫(π/4，0)-ln(1+tan(π/4-u))du
=∫(0,π/4)ln(1+(1－tanu)/1+tanu)du
=∫(0,π/4)ln2-ln(1+tanu)du.
令原积分为A,则A=∫(0,π/4)ln2-A
A=πln2/8

Answer 2

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