Question

复变函数问题？

见图

Answer 1

主要思路，将 实变量x 替换成复变量 z，考虑闭合的曲线积分：[-R,R]+[Re^{i 0}, Re^{i \pi}], 逆时针方向。这个闭合的曲线积分用留数定理能够求出来：7\pi/30 .
然后就是说明在上半圆周[Re^{i 0}, Re^{i \pi}]上的积分值随着 R 趋于无穷而趋于为0，所以原来的积分就是 7\pi/30。

Answer 2

设f(z)=(z²+1)/[(z²+4)(z²+9)]。∴f(z)在上半平面有两个一阶极点z1=2i，z2=3i。
∴根据柯西积分定理，原式=(2πi){Res[f(z),z1]+Res[f(z),z2]}。
而，Res[f(z),z1]=lim(z→z1)(z-z1)f(z)=-3/(20i)，Res[f(z),z2]=lim(z→z2)(z-z2)f(z)=8/(30i)，
∴原式=(2πi)[-3/(20i)+8/(30i)]=7π/30。
供参考。