Question

参数方程重积分，二重积分是在点的域内，对相应的函数值得累加，为什么y和x可以被直接替换？难道没关联？

Answer 1

关于x是奇函数，就是把y看成常数，实在理解不了，就把y看成是1，如z=xy，看成z=x，就是奇函数，z=x^2*y，看成z=x^2，就是偶函数，讨论关于x是什么函数，与y无关，讨论关于y是什么函数，与x无关。关于x是奇函数，把y看成常数，积分区域关于y轴对称时，它的积分你可以按照定积分的方法理解，y=sin x，在﹣π到π上，在x轴上方和下方的面积相等，代数和为0，定积分为0。二重积分同理，z=y*sin x，在﹣π到π上，在空间里z关于原点对称，所以xoy平面上方和下方的体积相等，代数和为0。被积函数是关于y是奇函数，且积分区域是关于x轴对称的，那么它的积分是0。同理。

追问

？？？

Answer 2

不要纠结于y与x的关系
就好比将笛卡尔坐标变换为极坐标后y=rsinθ，与x没有关系了，只要关注r和θ，这就是参数方程的意义所在。
在题目t∈[0,2π]，所以x＞0且y＞0，因此积分区域在第一象限，x轴上方曲线下方图形，
所以先积分y，上下限就是0→y(x)，再积分x，上下限0→x(t)
积分=∫[0→x(t)]dx∫[0→y(x)] y²dy =1/3∫[0→x(t)] y³(x)dx
由于这个方程不好解，所以换元，换成参数方程
积分 =1/3∫[0→x(t)] y³(x)dx=1/3∫[0→2π] a³(1-cost)³ da(t-sint)
那个答案中积分的上下限没有做好，所以你看的会觉得乱