Question

随机变量的数字特征

Answer 1

土工试验或原位测试得到的土样的物理力学参数具有很大的随机性，土的某项指标的某个数值出现的可能性就是一类随机事件问题。如果用数学的方法来描述这一随机事件，那么，土体某项指标在其整个取值变化范围内的连续体的集合就构成了随机事件的样本空间，而土工试验测得的每个具体数值就是样本空间里的样本点，土工试验测得的土样某项指标的所有数值构成了样本空间的一个子集，与随机试验结果相对应的有关数值为随机变量。随机变量的数字特征可以分为位置特征参数、散度特征参数、分布特征参数和相关特征参数^[81]。

3.2.1.1 位置特征参数

位置特征参数表示随机变量的平均位置和特定位置，通常用均值μ来描述，均值又称数学期望。随机变量X的数学期望E（X）（μ=E（X））为

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式中：X为随机变量；x为随机变量的取值；p为离散型随机变量取值为x的概率；f（x）为连续型随机变量的概率密度。

3.2.1.2 散度特征参数

方差、标准差是随机变量离散程度的特征参数。方差Var（X）的计算公式为

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标准差（均方差）σ（X）的计算公式为

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3.2.1.3 分布特征参数

分布特征参数是衡量随机变量分布对称性的参数，常用随机变量的矩来表示。

随机变量X的k阶（原点）矩为E（X^k）（k=1，2，…）k阶中心矩为E{[X-E（X）]^k}（k=1，2，…）。一般用随机变量X的三阶中心矩来描述其分布对称性：

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如果三阶中心矩为0，则分布对称于均值；如果为正数，则随机变量在大于均值的范围内更加离散；否则为负数。

3.2.1.4 相关特征参数

描述两个相关随机变量X，Y（如抗剪强度指标c，ϕ）之间相互关系的数字特征是相关系数ρ_XY。如果记随机变量X，Y的协方差Cov（X，Y）为

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则两者的相关系数为

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|ρ_XY|∈[0，1]，当|ρ_XY|=1时，随机变量X，Y之间以概率1存在线性相关性；当|ρ_XY|=0 时，随机变量X，Y之间不相关；|ρXY|越大，则随机变量X，Y之间的线性相关程度越好。

Answer 2

研究随机变量的数字特征可以总体上掌握随机变量某一侧面的性质,如期望表征随机变量的取值水平即平均数,方差表征随机变量取值的分散或集中程度.