Question

谁能帮我看一下这道数学题，大神求证明！

问题情景：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图（1）所示的方向摆放，其中角ACB=90度，CA=CB，角FDE=90度，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由. 扩展延伸：将图（1）中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图（2）所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程.

Answer 1

（1）、因为∠ACB=∠FDE=90°，DF⊥AC，DE⊥BC，所以四边形CMDN为矩形，

又因为CA=CB，可知△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，

易知∠ACO=∠BCO=45°，所以矩形CMDN为正方形，可知OM=ON。

（2）、如图所示，连接OC。

因为∠ACB=∠FDE=∠CMD=90°，所以四边形CMDN为矩形，有CN=DM，

又因为题（1）已证△ABC为等腰直角三角形，且点O为斜边AB的中点，

所以OC⊥AB，OA=OB=OC①，∠BCO=∠BAC=∠DAM=45°，

则△ADM为等腰直角三角形，所以CN=DM=AM②，∠OCN=∠OAM=135°③，

由①②③可知△OCN≌△OAM（SAS），所以OM=ON，∠CON=∠AOM，

则∠MON=∠AOM+∠AON=∠CON+∠AON=∠AOC=90°，

所以综上所述可知OM与ON的数量与位置关系为“OM与ON互相垂直且相等”。

Answer 2

答：因为时间太晚了，所以只能提示第(1)小题，因为△ABC是等腰直角三角形，所以△OAC、△OBC也都是等腰直角三角形，容易证明△OAM≌△OBN，并且四边形OMCN是正方形，所以OM=ON。