Question

无穷级数幂级数

求幂级数∑(n从1到无穷)(n^2+1)x^n的和函数

Answer 1

分享一种解法。设S(x)=∑x^n，n=1,2，……，∞。显然，丨x丨<1时，S(x)=1/(1-x)。
由S(x)对x求导，有S'(X)=∑nx^(n-1)。两边同乘x、求导，有[xS'(x)]'=∑n²x^(n-1)。∴∑n²x^n=x[xS'(x)]'。
∴原式=x[xS'(x)]'+S(x)=x[x/(1-x)²]'+1/(1-x)=(1-x+2x²)/(1-x)³。其中，丨x丨<1。
供参考。

追问

答案不对

追答

不好意思，结果有误，过程是对的。∵n=1,2，……，∞，∴S(x)=x/(1-x)。
原式=x[xS'(x)]'+S(x)=x[x/(1-x)²]'+x/(1-x)=x(2-x+x²)/(1-x)³，其中丨x丨<1。