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求解过程如下:
令x=sin²t,那么dx=d(sin²t)=2sintcostdt,√(x/(1-x)=√(sin²t/cos²t)=sint/cost。
所以:
原式=∫(sint/cost)*2sintcostdt
=∫2sin²tdt
=∫(1-cos2t)dt
=t-1/2*sin2t+C
而sint=√x,所以t=arcsin√x,sin2t=2sintcost=2√x*√(1-x)=2√(x-x²)
所以原式=arcsin√x-√(x-x²)+C。
扩展资料:
1、原函数存在定理:
若函数f(x)在某区间上连续,则f(x)在该区间内必存在原函数,这是一个充分而不必要条件,也称为“原函数存在定理”。
函数族F(x)+C(C为任一个常数)中的任一个函数一定是f(x)的原函数,故若函数f(x)有原函数,那么其原函数为无穷多个。
2、原函数几何意义:
设f(x)在[a,b]上连续,则由
曲线y=f(x),x轴及直线x=a,x=b围成的曲边梯形的面积函数(指代数和——x轴上方取正号,下方取负号)是f(x)的一个原函数。若x为时间变量,f(x)为直线运动的物体的速度函数,则f(x)的原函数就是路程函数。
参考资料来源:搜狗百科-原函数
令x=sin²t,那么dx=d(sin²t)=2sintcostdt,√(x/(1-x)=√(sin²t/cos²t)=sint/cost。
所以:
原式=∫(sint/cost)*2sintcostdt
=∫2sin²tdt
=∫(1-cos2t)dt
=t-1/2*sin2t+C
而sint=√x,所以t=arcsin√x,sin2t=2sintcost=2√x*√(1-x)=2√(x-x²)
所以原式=arcsin√x-√(x-x²)+C。
扩展资料:
1、原函数存在定理:
若函数f(x)在某区间上连续,则f(x)在该区间内必存在原函数,这是一个充分而不必要条件,也称为“原函数存在定理”。
函数族F(x)+C(C为任一个常数)中的任一个函数一定是f(x)的原函数,故若函数f(x)有原函数,那么其原函数为无穷多个。
2、原函数几何意义:
设f(x)在[a,b]上连续,则由
曲线y=f(x),x轴及直线x=a,x=b围成的曲边梯形的面积函数(指代数和——x轴上方取正号,下方取负号)是f(x)的一个原函数。若x为时间变量,f(x)为直线运动的物体的速度函数,则f(x)的原函数就是路程函数。
参考资料来源:搜狗百科-原函数
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√(1+x)的原函数为2/3*(1+x)^(3/2)+C。具体解答过程如下。
解:令f(x)=√(1+x),F(x)为f(x)的原函数。
那么F(x)=∫√(1+x)dx
=∫√(1+x)d(1+x)
=2/3*(1+x)^(3/2)+C
即f(x)=√(1+x)的原函数为F(x)=2/3*(1+x)^(3/2)+C。
扩展资料:
1、不定积分的性质
(1)函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。即,
∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
(2)求不定积分时,被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即,
∫k*f(x)dx=k∫f(x)dx
2、不定积分的公式
∫1/(x^2)dx=-1/x+C、∫adx=ax+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C
参考资料来源:百度百科-不定积分
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