Question

高等数学判断一点是不是极值点，看它附近函数值是否同号可以吗？

譬如f(x,y),看f(0,0)＝0，若f在(0,0)附近的函数值异号，是不是(0,0)就不是极值点，若同号就是极值点？

Answer 1

不行的，你写的还是二元函数，二元函数用ac—b2判定，（其中a是对x二阶偏导，b是混合偏导，c是对y二阶偏导）大于零是极值，小于零不是，等于的时候还要另作考虑。如果是一元函数，在驻点处看它二阶导是否等于零，等于就不是极值，不等于才是。如果二阶导不存在，就看一阶段左右倒数正负性。

Answer 2

若在(0,0)的无论多么小的邻域内，都至少存在两个点，使得函数在这两点的值异号，则点(0,0)一定不是函数f(x,y)的极值点。
但若存在点(0,0)的某个邻域U，函数在U内任意两点的函数值都同号，此时点(0,0)也未必就是f(x,y)的极值点。例如：f(x,y)＝1+xy在点(0,0)的1/2-邻域内的函数值都是大于零的，f(x,y)在点(0,0)并不取得极值。