证明：因为AB=AC，∠BAC=36D，360/36=10；所以等腰三角形△ABC是以A为圆心，AB为半径圆内接正10边形的1/10，即以正10边形的一边和其所对的圆心角构成。为了解析这一图形，我们通过尺规作图来把这个图形的形成过程，以及等量分析了解一下。
见下图，图中红色线为尺规作图的专用线，蓝色辅助线和黑色原图线所用字母除P之外，按照字母顺序都是H之前的字母;而蓝绿色分析线和红色作图线部分所用的字母都是H之后的字母。以便于看清楚，作图过程省略，关键步骤作出说明。设红圆A半径AB=1；那么圆M半径为AM=1/2；CM=√5/2；关键点N是圆C和圆M的切点：CN=BC=(√5-1)/2；蓝色圆A半径为AP。为什么说(√5-1)/2是半径为1的正10边形的边长呢：
因为：sin18D=(√5-1)/4(由sin36=cos54，分别运用三倍角和二倍角公式推导，过程略)；作AD⊥BC于D，则∠ABD=∠ACD=18D；BC=BD+DC=2BD=√(√5-1)/2;
红圆A和圆I合同，它们的交点为J和K, J为90度圆弧CI的三等分点。弧CJ/弧BC=30/36=5/6; 作PQ平分∠ABC(=72D)交红圆O于Q由此可以看出∠PAD=∠FAE=∠PBQ=6D(圆周角∠PBQ所对圆弧=弧CF，圆心角∠FAE所对圆弧为弧EF)，且AP=BC时；△PBC的这种构图才可以成立。且P∈BP∩CP∩蓝圆A；作PA的垂直平分线SU，分别角红圆O于S和U，交AP于T；联结SA并延长交红圆O于V，则弧UV=弧BC，并得Rt△AST；在Rt△AST和Rt△BAD中，因为圆心角所对的弧=弧BC/2； 所以∠AST=∠BAD， ∠ATS=π/2=∠BDA； AS=AB(同圆半径相等)；所以，Rt△AST≌Rt△BAD；
所以AP=2AT=2BD=BC(合同三角形对应边相等)。证毕。
