Question

高等数学求证明

Answer 1

令f(x)=左边，显然f(x)在[0,正无穷）单调递增，由零点存在定理，取f(1/2)<1,f(1)>1,所以必存在一个零点。又因为其在[0,正无穷)单调，所以原命题在[0,正无穷)成立，

Answer 2

f(x)=x^n+x^(n-1)+……+x-1
f(1)=n-1>0
f(1/2)=1/2^n+1/2^(n-1)+……+1/2-1=-1/2^(n+1)<0
所以连续函数 f(x)=x^n+x^(n-1)+……+x-1 在 (0.5，1)内至少有一个零点
所以方程 x^n+x^(n-1)+……+x=1 在 (0.5，1)内至少有一个实根
又显然 f(x)在(0.5，1)内是增函数
所以方程 x^n+x^(n-1)+……+x=1 在 (0.5，1)内只有唯一一个实根

Answer 3

令f(x)=x^n+x^(n-1)+...+x²+x-1
f'(x)=nx^(n-1)+(n-1)x^(n-2)+...+2x+1>0对x∈(0,+∞)恒成立
由等比数列求和公式知f(x)=x(1-x^n)/(1-x)-1(x≠1),f(x)=nx-1(x=1)
f(0.5)=1-1/2^n-1=-1/2^n<0
f(1)=n-1>0
由零点存在定理知f(x)=0在x∈(0.5,1)上有唯一解
原命题得证

Answer 4

这种动脑子题可以上微信小程序懂了吧，提问，会有视频讲解，很方便的