Question

高等数学，曲面积分和体积分的证明题，求教

Answer 1

反证法。
如果在R^3上，有一点M0，使得在M0点处P'x+Q'y+R'z≠0，
记P'x+Q'y+R'z为★
不妨设★(M0)>0（<0时同理可证）
因为★连续，利用保号性，
则存在一个以M0为心，以r为半径的小球，
使得在此小球域D上，★>0。
则用积分中值定理得到
∫∫∫〔D〕★dv=★(§)*D的体积>0。
另一方面，
取小球面外侧，则用高斯公式得到
∫∫〔小球面上〕【Pdydz+Qdzdx+Rdxdy】
=∫∫∫〔D〕★dv>0矛盾。