Question

不等式问题？

xy（x+2y）=2，求x+y的最小值

Answer 1

最简单算法为构造法：

构造f（x,y）=xy(x+2y)-2，g（x,y）=x+y

后面运用高等数学拉格朗日中值定理，再次构造函数：

L（x,y）=g(x,y)+λf（x,y）=x+y+λ[xy(x+2y）-2]

分别求L(x,y)偏导数：

Lx=1+2λxy+2λy^2=0

Ly=1+λx^2+4λxy=0

则：2λxy+2λy^2=-1，λx^2+4λxy=-1

所以：2λxy+2λy^2=λx^2+4λxy

化简得：（x+y）^2=3y^2

由于x，y>0

得x=（√3-1）y……………………①

将①代入x(x+2y)=2

解得：x=√3-1，y=1

所以x+y=√3

此方法为最简单算法

原理与楼下知识一致，不用复杂计算且可运用于各种类似xy之间关系式，请务必采纳!!!

追问

√3

追答

最近学了一招新招，非常简单：
xy（x+2y）=2，改写：xy（x+2y）-2=0

构造两个函数：f（x，y）=xy（x+2y）-2，g（x，y）=x+y
下面是高等数学知识：运用拉格朗日中值定理
再次构造函数：L（x，y）=g（x，y）+λf（x，y）=（x+y）+λxy（x+2y）
分别求L（x，y）的偏导数：

Lx=1+2λxy+2λy^2=0………………………………①
Ly=1+λx^2+4λxy=0…………………………………②
①式变为：2λy（x+y）=-1
②式变为：λx（x+4y）=-1
则λx（x+4y）=2λy（x+y）
化简计算，解得：x+y=√3y（x>0,y>0）
x=(√3-1)y…………………………③
③式代入xy（x+2y）=2
解得：x=√3-1，y=1
x+y=√3

Answer 2

追问

追答

简便方法没想出来

Answer 3

你得先提公因式，把这个分式进行化简之后，再把xy提出来就是最后的结果了

追问

能书写下过程吗，我比较愚笨。

Answer 4

x+y最小值为1。。。。。。。