Question

无理数为什么比有理数多呀 怎么证明呀

无理数为什么比有理数多呀 怎么证明呀

Answer 1

（1）在大学“实变函数论”中，有正确的证明。它形象地说明，把有理数与无理数分别排队，则无理数的队伍长为∞，而有理数的队伍长则为0。这即是“勒贝格测度理论”。(2)这里，只能做描述性的说明，不是严格证明。设集合Q={全部有理数}，集合W={全部无理数}.先认可一个结论：有理数+无理数=无理数。如1+√2是无理数。（3）已知π是无理数，把全部的有理数与π相加，结果还是无理数，把这个和的集合记为A(π）。易知，集A(π）与有理数集Q之间是一一对应，故二者所含的元素数量相等，但集A(π）只是无理数集W的一部分，即Q中的元素数小于W中的元素数。即无理数比有理数多。

Answer 2

无理数多。
这是个穷集合的对等的问题，和有限集比较元素个数不同。
首先说明什么是“多”。有理数和无理数不对等，即不能建立一一对应关系。而如果两个集合可以建立一一对应关系，则说它们是对等的（即“一样多”）。
无穷集合的对等与有限集的一样多在直观上可能是不同的，如整数和偶数是可以一一对应的（n对应2n），因而它们是对等的。
因为有理数可以写成整数分数的形式，因此有理数和整数对儿对等；又因为整数对儿(0,
0)、(0,
1)、(1,
0)、(1,
1)……可以排成有序的一列（正负可以交错排列），因此整数对儿和自然数也对等。
同样的，由于无理数有1.1415926……，2.1415926……，3.1415926……，因此无理数的一部分可以与自然数建立一一对应关系，它们是对等的。因此无理数不会比自然数少，也就不会比有理数少。
我们现在只要说明无理数与自然数不能对等。
我们用反证法。反设无理数可以排成一列（从而可以编号1、2、3……）：
x.xxxx……
x.xxxx……
……
我们可以找出一个新的无理数，它的第一位与上面数列中的第一个数不同，第二位与数列中的第二个数不同，……从而这个新无理数就不在数列中，这是一个矛盾。此矛盾说明无理数不能排成一列，即无理数比自然数多，从而比有理数多。

Answer 3

去翻翻泛函分析，找找“紧集”这章的内容

Answer 4

因为不懂道理的人比懂道理的人多