Question

大一高等数学应用题求解7？要过程不要思路

Answer 1

设f(x)=x^3 +2x-sinx-1
则f(x)在[0,1]上连续，
f(0)=-1<0，f(1)=2-sin1>0，
故由介值定理知，存在c∈(0,1)，使得f(c)=0，
此即表明f(x)=0在(0,1)内有实根。
f'(x)=3x²+2-cosx
因为|cosx|≤1，故f'(x)>0在(0,1)上恒成立，
故f(x)在(0,1)上严格递增，
故f(x)在(0,1)内有且只有一个实根。

Answer 2

令左边为函数 f(x)，
它在 [0，1] 上连续，
且 f(0)＝ - 1＜0，f(1)＝2 - sin1＞0，
由均值定理，在 (0，1) 内至少有一个零点，
又 f'(x)＝3x²＋2 - cosx＞0，
函数在 [0，1] 上严格单调递增，
所以，区间内恰有唯一零点。