Question

分离变量法

Answer 1

分离变量法的基本思想是把水头的时空分布函数分解为若干一元函数的乘积，这些一元函数以空间坐标和时间坐标为自变量。这样组合的时空分布函数代入到控制方程时，将得到若干个常微分方程。这些常微分方程之间通过特征值联系起来。含有空间项的常微分方程与边界条件一起构成特征值问题，其解为特征函数。含有时间项的常微分方程类似于衰变方程，可以得到一个通解，不妨称为衰变函数。不同特征值对应的特征函数与衰变函数的线性组合，就构成原问题的解，组合系数由初始条件和特征函数的正交性确定。由于特征值是无穷数列，这种解具有无穷级数的性质。如果定解问题的边界均为齐次边界或只有一个非齐次边界，使用分离变量法将十分方便。非齐次边界问题也可以分解为若干个齐次边界问题进行求解。

下面用一个简单的一维承压水非稳定流问题（图3.1）来说明分离变量法的基本思路。设流场定义域为0≤x≤L，两侧边界均为定水头边界。其非稳定流描述为以下定解问题

图3.1 承压含水层非稳定流示意图

地下水运动方程

地下水运动方程

式中：H₀（x）为初始水头分布；a＝K/S_s，即渗透系数与贮水率的比值。

首先对水头函数进行变量分离，写成

地下水运动方程

式中：X（x）和T（t）分别为空间和时间的一元函数。把式（3.5）代入到式（3.1）得到

地下水运动方程

等式两边的自变量分别是空间和时间，其成立的条件必然是等号两边等于同一个常数，令这个常数为－β²，则有

地下水运动方程

而边界条件改变为

地下水运动方程

式（3.7）为齐次线性常微分方程，根据附录2，其特征方程为

地下水运动方程

具有特征根

地下水运动方程

因此方程（3.7）的基本解为

地下水运动方程

式中：c₁和c₂是待定常数。由于β的取值可以发生变化，根据边界条件，该基本解在［0，L］内为非零解的条件是

地下水运动方程

取

地下水运动方程

根据边界条件（3.9）有c₂＝0。因而，一系列对应βn的特解为

地下水运动方程

这样得到的X_n（x）为上述边值问题的特征函数，而βn为特征值，式（3.13）就是特征值所满足的方程。式（3.8）为衰变方程，容易得到其特解为

地下水运动方程

这个与βn有关的衰变函数与特征函数组合为原定解问题的一个特解

地下水运动方程

而原问题的通解是上述特解的线性组合，即

地下水运动方程

其中的未知系数c_n可以根据初始条件确定，同时，c_n还必须满足特征函数的正交性。

根据Sturm－Liouville问题的正交性，对于任意两个不相等的特征值βm和βn，应有

地下水运动方程

而对于相等的两个特征值，有

地下水运动方程

其中N（βn）为特征函数的范数。利用式（3.15）有

地下水运动方程

在确定c_n的数值时，首先根据初始条件有

地下水运动方程

等式两边取积分

地下水运动方程

其中m可以是n＝1，2，…中的任意值，因此也可以根据式（3.23）把c_n表示为

地下水运动方程

根据前述得到的特征函数和范数，有

地下水运动方程

这说明c_n恰好等于初始水头分布函数H（x）的Fourier系数。