求解高数题目
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求函数u=xy+2yz在约束条件x²+y²+z²=10下的最大值和最小值;
解:作函数F(x,y,z)=xy+2yz+λ(x²+y²+z²-10);
令∂F/∂x=y+2λx=0........①;
∂F/∂y=x+2z+2λy=0.....②;
∂F/∂z=2y+2λz=0..........③
x²+y²+z²=10...................④
z×①得:yz+2λxz=0.........⑤;x×③得:2xy+2λxz=0..........⑥
⑥-⑤得:2xy-yz=y(2x-z)=0;故y=0(舍去)或z=2x;【若y=0,则x=0,z=0,与④式矛盾】
y×①得:y²+2λxy=0........⑦; x×②得:x²+2xz+2λxy=0..........⑧
⑧-⑦,并将z=2x代入得:x²-y²+2xz=5x²-y²=0; ∴ y²=5x².........⑨;
将⑧⑨代入④式得:x²+5x²+4x²=10x²=10;∴ x²=1;x=±1;y=±√5;z=±2;
【驻点有许多种组合,不一 一列举了。】
当x=1, y=√5,z=2(或x=-1,y=-√5,z=-2)时获得最大值umax=(√5) +4√5=5√5;
当 x=1,y=-√5, z=2 时获得最小值umin=-(√5)-4√5=-5√5;
【获最小值还有多种组合,只要xy<0,yz<0(x,z同号,y异号)可得最小值-5√5】
解:作函数F(x,y,z)=xy+2yz+λ(x²+y²+z²-10);
令∂F/∂x=y+2λx=0........①;
∂F/∂y=x+2z+2λy=0.....②;
∂F/∂z=2y+2λz=0..........③
x²+y²+z²=10...................④
z×①得:yz+2λxz=0.........⑤;x×③得:2xy+2λxz=0..........⑥
⑥-⑤得:2xy-yz=y(2x-z)=0;故y=0(舍去)或z=2x;【若y=0,则x=0,z=0,与④式矛盾】
y×①得:y²+2λxy=0........⑦; x×②得:x²+2xz+2λxy=0..........⑧
⑧-⑦,并将z=2x代入得:x²-y²+2xz=5x²-y²=0; ∴ y²=5x².........⑨;
将⑧⑨代入④式得:x²+5x²+4x²=10x²=10;∴ x²=1;x=±1;y=±√5;z=±2;
【驻点有许多种组合,不一 一列举了。】
当x=1, y=√5,z=2(或x=-1,y=-√5,z=-2)时获得最大值umax=(√5) +4√5=5√5;
当 x=1,y=-√5, z=2 时获得最小值umin=-(√5)-4√5=-5√5;
【获最小值还有多种组合,只要xy<0,yz<0(x,z同号,y异号)可得最小值-5√5】
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