Question

高数无穷级数问题，请问详细步骤





Answer 1

第1小题，幂级数的收敛区间是1<x<3。讨论其收敛区间的端点即x=1、x=3的值，以确认其收敛域。x=3时，原式=∑[(-1)^n]/[(n+1)2^(n+1)]+∑1/(n+1)。后者级数的敛散性等价于∑1/n、发散，故其发散；x=1时，原式=∑1/[(n+1)2^(n+1)]+∑[(-1)^n]/(n+1)。两者均收敛，故其收敛。∴其收敛域为1≤x<3。
第2小题，设an=[√(n+2)-√(n-2)]/n^α。当n→∞时，√(n+2)-√(n-2)=4/[√(n+2)+√(n-2)]~2/√n。∴级数∑an与级数∑2/[(n^α)√n]=∑2/n^(α+1/2)有相同的敛散性。
供参考。

Answer 2

解：详细过程是，∵丨x丨<1时，1/(1-x)=1+x+x2+……+x^n+……=∑x^n，n=0,1,2，……,∞，两边对x求导， ∴1/(1-x)2=∑nx^(n-1)，n=1,2，……,∞。供参考。