Question

一道大一高数题？

Answer 1

lnf(x)=xln(1+1/x)=xln(1+x)-xlnx
等式两边同时对x求导
f'(x)/f(x)=ln(1+x)+x/(1+x)-1-lnx
所以
f'(x)=[ln(1+x)+x/(1+x)-1-lnx]f(x)
注意到对于任意的x>0，f(x)>0
所以这里只需要考虑当x>0时，g(x)=ln(1+x)+x/(1+x)-1-lnx是否也大于0
g'(x)=1/(x+1)-1/x+1/(1+x)²=-1/[x(1+x)²]<0
所以当x>0时，g(x)>lim(x→∞)g(x)
lim(x→∞)g(x)
=lim(x→∞) [ln(1+1/x)-1/(1+x)]
=0
因此当x>0时，g(x)>0
所以当x>0时，f'(x)>0
因此当x>0时，f(x)单调递增

Answer 2

Answer 3

x∈(0,π/2)
sinx>0, cosx>0 , secx >0
f''(x) = cosx +secx +2sinx.(secx)^2 >0 , x∈(0,π/2)