Question

lim(x→∞){[(x^2+1)/(x-2)]e^1/x}-x

Answer 1

let
y=1/x
lim(x->+ ∞) { [(x^2+1)/(x-2)]e^(1/x) -x }
=lim(y->0) { [( 1/y^2+1)/(1/y-2)]e^y - 1/y }
=lim(y->0) ( { ( 1+y^2)/[y(1 -2y )] }e^y - 1/y )
=lim(y->0) [ (1+y^2).e^y - (1-2y) ]/[y(1-2y) ]
=lim(y->0) [ (1+y^2).e^y - (1-2y) ]/y
=lim(y->0) [ e^y - (1-2y) ]/y + lim(y->0) ye^y
=lim(y->0) [ e^y - (1-2y) ]/y
=lim(y->0) [ 1+y - (1-2y) ]/y
=lim(y->0) 3y/y
=3

Answer 2

左极限 lim(x→-∞)√(x^2+x+1)/(x-1) = lim(x→-∞)(-x)√(1+1/x+1/x^2)/(x-1)
= lim(x→-∞)-√(1+1/x+1/x^2)/(1-1/x) = -1；
右极限 lim(x→+∞)√(x^2+x+1)/(x-1) = lim(x→+∞)x√(1+1/x+1/x^2)/(x-1)
= lim(x→+∞)√(1+1/x+1/x^2)/(1-1/x) = 1。
则极限 lim(x→∞)√(x^2+x+1)/(x-1) 不存在。
扩展资料：
设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都∃N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。
如果上述条件不成立，即存在某个正数ε，无论正整数N为多少，都存在某个n>N，使得|xn-a|≥a，就说数列{xn}不收敛于a。如果{xn}不收敛于任何常数，就称{xn}发散。
“当n>N时，均有不等式|xn-a|<ε成立”意味着：所有下标大于N的xn都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。换句话说，如果存在某 ε0>0，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。