Question

偏导数的计算

Answer 1

线性方程组(3.14)的系数矩阵是由偏导数矩阵J构成的，因此偏导数矩阵的计算成为反演的关键问题。在这里由于是一维问题，计算量较小，可以采用有限差分法计算偏导数矩阵。在二维、三维反演中由于模型参数巨大，正演计算耗时大，一般不用有限差分法计算偏导数，而是结合具体物探正反演过程有其他快速方法。在第9章将讲述在二维直流电测深反演中利用互换定理计算偏导数的方法。

由于模型参数量纲不同，数值变化范围较大，为了计算的稳定，我们可以想办法缩小参数变化范围。常用的方法有两种:①模型参数及视电阻率取对数;②模型参数量纲归一化。

3.1.3.1 模型参数及视电阻率取对数

模型参数及视电阻率取对数后，线性方程组(3.14)相应元素都要取对数计算，计算出来的模型修改量也是对数值。式(3.11)偏导数矩阵J相应位置元素不再是

，而是

，计算公式如下:

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一般取Δm_j为原参数的0.1倍。解线性方程组(3.14)得模型修改量。注意:解出来的是对数值lgΔm_j(i)。第(i+1)次迭代新模型的修改公式为

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利用式(3.17)可以获得新模型的算术值。为了防止修改过量，要求新模型参数值的变化量不能超过原来值的一半，超过取一半。

3.1.3.2 模型参数量纲归一化^[9]

式(3.14)的等解方程是

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式(3.18)第i行的具体计算公式为

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偏导数的计算公式如下:

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将式(3.20)代入式(3.19)得

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式(3.21)两端除以ρ_ci得

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把式(3.22)方程组写成矩阵形式为

AX=B (3.23)

其中:A为系数矩阵;X为未知数向量;B为右端向量。具体形式如下:

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解出式(3.23)后，可得新模型参数

计算公式:

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同样为了防止修改过量，要求:

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