Question

如何求函数的单调性？

如图 希望答案能带过程 谢谢 在线等

Answer 1

先求导数，然后对a进行分类讨论，当f'(x)＞0则函数严格单调递增，f'(x)＜0则函数严格单调递减。
1.f(x)=x－alnx (x＞0)
f'(x)=1－a/x=(x－a)/x
当a≤0时，f'(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)单调递增
当a＞0时，0＜x＜a时，f'(x)＜0，f(x)↓
x＞a时，f'(x)＞0，f(x)↑
所以此时f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增。
2.f(x)=1/2 x²－(a＋1)x＋alnx
f'(x)=x－(a＋1)＋a/x=[x²－(a＋1)x＋a]/x=(x－a)(x－1)/x
当a≤0时，x－a＞0，当0＜x＜1时，f'(x)＜0，f(x)↓，当x＞1时，f'(x)＞0，f(x)↑
当0＜a＜1时，当0＜x＜a时，f'(x)＞0，f(x)↑；x∈(a，1)时f'(x)＜0，f(x)↓；x＞1时，f'(x)＞0，f(x)↑
当a=1时，f'(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)单调递增
当a＞1时，0＜x＜1时，f'(x)＞0，f(x)↑；x∈(1，a)时，f'(x)＜0，f(x)↓；x＞a时，f'(x)＞0，f(x)↑
3.f(x)=1/3 x³＋1/2 ax²＋x＋1
f'(x)=x²＋ax＋1
当a²－4≤0，即－2≤a≤2时，f'(x)≥0，f(x)↑
当a＞2或a＜－2时，f'(x)=｛x－[(－a)－∨(a²－4)]/2｝｛x－[(－a)＋∨(a²－4)]/2｝
当x＜[－a－∨(a²－4)]/2时，f'(x)＞0，f(x)↑
[－a－∨(a²－4)]/2＜x＜[－a＋∨(a²－4)]/2时，f'(x)＜0，f(x)↓
x＞[－a＋∨(a²－4)]/2时，f'(x)＞0，f(x)↑
4.f(x)=(x－2)e^x＋a(x－1)²
f'(x)=(x－1)e^x＋2a(x－1)=(x－1)(e^x＋2a)
当a≥0时，e^x＋2a＞0，当x＞1时，f'(x)＞0，f(x)↑
当x＜1时，f'(x)＜0，f(x)↓
当－e/2＜a＜0时 x＜ln(－2a)时，f'(x)＞0，f(x)↑
x∈(ln(－2a)，1)时，f'(x)＜0，f(x)↓
x＞1时，f'(x)＞0，f(x)↑
当a=－e/2时，f'(x)=(x－1)(e^x－e)，x＜1时，f'(x)＞0，f(x)↑，x＞1时，f'(x)＞0，f(x)↑
所以f(x)↑
当a＜－e/2时，x＜1时，f'(x)＞0，f(x)↑
x∈(1，ln(－2a))时，f'(x)＜0，f(x)↓
x＞ln(－2a)时，f'(x)＞0，f(x)↑

Answer 2

先求导数，然后再根据导数大于零，函数单调递增;导数小于零，函数单调递减。来判断。