Question

已知圆C:x^2+y^2+ax-4y+1=0(a属于R)， 过定点P(0,1)作斜率为1的直线交圆C于A,B两点 P为线段AB的中点,

Answer 1

1.解：过定点P(0,1)作斜率为1的直线，其方程为y=x+1
代入圆c方程，消去y，得2x^2+(a-2)x-2=0
设A(x1,y1)，B(x2,y2)
有x1+x2=(2-a)/2，又因为P为线段AB的中点，所以x1+x2=2xP=0，得a=2
2.解：若要△ABE面积的最大，因为|AB|为定值，所以，只要d(E,AB)最大即可
由圆半径为2，设E(-1+2cosα,2+2sinα)，所以d(E,AB)=|-1+2cosα-(2+2sinα)+1|/√2
而分子部分绝对值内为-1+2cosα-(2+2sinα)+1=2cosα-2sinα-2=2√2cos(α+π/4)-2
其取值范围为[-2-2√2,-2+2√2]，所以其绝对值取值范围为[0,2+2√2]
所以，d(E,AB)取值范围为[0,2+√2]，
所以△ABE面积最大值当且仅当d(E,AB)=2+√2时，结果为(1/2)*|AB|*d(E,AB)=2+2√2
3.解：设M(x0,y0)，因为MN为圆切线，
所以|MN|^2=|OM|^2-|ON|^2=|OM|^2-r^2=|OM|^2-4=(x0+1)^2+(y0-2)^2-4
|MP|^2=x0^2+(y0-1)^2
若|MN|=|MP|，则(x0+1)^2+(y0-2)^2-4=x0^2+(y0-1)^2
解得x0=y0
|MN|^2=2(x0-1/2)^2+1/2，当x0=1/2时，|MN|有最小值√2/2
此时，M(1/2,1/2)

Answer 2

1、圆方程为：(x+a/2)^2+(y-2)^2=a^2/4+3,
圆心坐标C（-a/2,2)
P(0,1)j
弦AB的中点，因圆心
纵坐标
为2，故圆心在直线y=2上，
弦的
直线方程
为：y=x+1,
因P为弦AB的中点，故CP⊥AB，CP的直线方程为y=-x+1,(斜率为其
负倒数
，为-1），
联立y=2,y=-x+1,求出交点，即为圆心坐标，
x=-1,
则圆心坐标C（-1，2），
-a/2=-1,
∴a=2.
圆方程为：（x+1)^2+(y-2)^2=4.
圆和X轴
相切
于B（-1，0）点，
2、在相同底AB的三角形中，高最大者面积最大，因此应为过圆心的高，
E点在AB
优弧
的中点，
y=x+1代入圆方程，解出交点坐标A、B，
x=1,y=2,
或x=-1,y=0,
B（-1，0），A（1，2），
|AB|=2√2，|BP|=√2，，
|CP|=√(R^2-BP^2)=√（4-2）=√2，
|EP|=R+|CP|=2+√2，
∴S△EAB（max)=(2+√2）*2√2/2=2√2+2。
3、最短距离应在CP的延长线上，
设M（x0,y0),|MN|=x,
|MP|=x,
|CP|=√2，CN⊥MN，
△CMN是RT△，
根据
勾股定理
，
MC^2=R^2+MN^2,
（√2+x)^2=2^2+x^2,
x=√2/2，
|MP|=√2/2
则x0=（√2/2）*cos45°=1/2，y0=（√2/2）*sin45°=1/2,
∴M(1/2,1/2),
∴|MN|(min)=√2/2。

Answer 3

我只说思路
看你能不能看懂了
不能再联系
设ab坐标
带入圆方程，将两个方程做差，分解平方差公式得到①，
设p（x，y）根据中点公式得到p点与ab关系
带入①，替换掉加和的式子，
根据p，m，a,b四点在一条直线上
直线pm和ab斜率一样
得到一个差的关系式
带入①
，就应该可以得到你要的了

Answer 4

AB直线：y-1=x
x^2+y^2+ax-4y+1=0
(y-1)^2+y^2+a(y-1)-4y+1=0
2y^2+(a-6)y+2-a=0
y1+y2=(6-a)/2
y1y2=(2-a)/2
(y1+y2)/2=1
(6-a)/2=2
a=2
y1y2=0
(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=4
AB=√(2*4)=2√2
C:x^2+y^2+2x-4y+1=0
(x+1)+(y-2)^2=4
圆心C(-1,2),半径R=2
Sabe=AB*h/2
h最大时，AB边上的高EF通过圆心
EF*(2R-EF)=(AB/2)^2=2
EF^2-4EF+4=2
(EF-2)=
√2
EF=2+√2
S=(2+√2)*2/2=2+√2
3
M(x0,y0)
CM^2=(x0+1)^2+(y0-2)^2
MN^2=CM^2-R^2
MP^2=x0^2+(y0-1)^2
(x0+1)^2+(y0-2)^2-4=x0^2+(y0-1)^2
2x0-2y0=0
x0=y0
MN^2=(x0+1)^2+(y0-2)^2-4=2x0^2-2x0+1=2(x0-1/2)^2+1/2
x0=y0=1/2，M（1/2，1/2）时
MN最小值1/2