Question

设A为mxn实矩阵，证明秩（AtA）=秩（A）

急

Answer 1

只要证明方程组A'Ax=0和Ax=0同解(记A'=At)
若x是Ax=0的解,则显然x也是A'Ax=0的解
若x是A'Ax=0的解
则x'A'Ax=x'0=0
(Ax)'(Ax)=0
||Ax||=0
Ax的范数为0的当且仅当Ax=0
所以x是Ax=0的解.

Answer 2

证:
对任一n维向量x≠0
因为
r(a)=n,
所以
ax≠0
--
这是由于ax=0
只有零解
所以
(ax)'(ax)
>
0.
即有
x'a'ax
>
0
所以
a'a
为正定矩阵.
注:
a'
即
a^t